Контрольная работа Алгебра и начало анализа - Форум
|
Контрольная работа Алгебра и начало анализа
| |
| skumonk | Дата: Четверг, 16.11.2017, 15:04 | Сообщение # 1 |
 Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 1933
Репутация: 0
Статус: Offline
| Алгебра и начала анализа. 1. Линейная функция y = ax + b, её свойства и график. Ответ 2. Квадратичная функция y = ax2 + bx + c, её свойства и график. Ответ 3. Функция y = k/x, её свойства и график, график дробно-линейной функции (на конкретном приме-ре). Ответ 4. Показательная функция y = ax, её свойства и график. Ответ 5. Логарифмическая функция y = logax, её свойства и график. Ответ 6. Функция y = sin(x), её свойства и график. Ответ 7. Функция y = cos(x), её свойства и
график. Ответ 8. Функция y = tg(x), её свойства и график. Ответ 9. Функция y = ctg(x), её свойства и график. Ответ 10. Арифметическая прогрессия, сумма первых n членов арифметической прогрессии. Ответ 11. Геометрическая прогрессия, сумма первых n членов геометрической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Ответ 12. Решение уравнения sin(x) = a, неравенств sin(x) > a, sin(x) < a. Ответ 13. Решение уравнения cos(x) = a, неравенств cos(x)
> a, cos(x) < a. Ответ 14. Решение уравнения tg(x) = a, неравенств tg(x) > a, tg(x) < a. Ответ 15. Формулы приведения (с выводом). Ответ 16. Формулы синуса и косинуса суммы и разности двух аргументов (с доказательством). Ответ 17. Тригонометрические функции двойного аргумента. Ответ 18. Тригонометрические функции половинного аргумента. Ответ 19. Формулы суммы и разности синусов, косинусов (с доказательством). Ответ 20. Вывод формулы корней квадратного
уравнения, теорема Виета. Ответ 21. Логарифм произведения, степени, частного. Ответ 22. Понятие производной, ее геометрический смысл и физический смысл. Ответ 23. Правила вычисления производной. Ответ Функция заданная формулой y = kx + b, где k и b - некоторые числа, называется линейной. Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, т.к. выражение kx + b имеет смысл при любых значениях х. График линейной
функции y = kx + b есть прямая. Для построения графика, очевидно, достаточно двух точек, если k 0. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y = kx с положительным направлением оси Ох, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0 - тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох. График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного переноса графика функции y = kx. Ответ №2. Опр.
|
| |
| |
| skumonk | Дата: Четверг, 16.11.2017, 15:06 | Сообщение # 2 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 1933
Репутация: 0
Статус: Offline
| Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax2 + bx + c, где х - независимая переменная, а, b и с - некоторые числа, причем а 0.Графиком квадратичной функции является парабола.Свойства функции y = ax2(частный случай) при а > 0.1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.2. Если х 0, то y > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости.3. График функции симметричен относительно
оси Oy.4. Функция убывает в промежутке (- ; 0] и возрастает в промежутке [0; + ).5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции [0; + ).Свойства функции y = ax2 при а < 0.1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.2. Если х 0, то y < 0. График функции расположен в нижней полуплоскости.3. График функции симметричен относительно оси Oy.4. Функция убывает в промежутке [0; + ) и возрастает в промежутке (- ; 0].5.
Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции (- ; 0].И, так, график функции y = ax2 + bx + c есть парабола, вершиной которой является точка (m; n), где m = , n= . Осью симметрии параболы служит прямая х = m, параллельная оси y. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, при a < 0 - вниз. Ответ 3 Если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимость выражается формулой , где - коэффициент обратной
пропорциональности. Область определения функции - есть множество всех чисел, отличных от нуля, т. е. . Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях; если же k<.0, то во II и IV координатных четвертях. Заметим, что гипербола не имеет общих точек
с осями координат, а лишь сколь угодно близко к ним приближается. № 4. Опр. Функция, заданная формулой y = ax, где а - некоторое положительное число, не равное еденице, называется показательной.1. Функция y = ax при а>1а) область определения - множество всех действительных чисел;б) множество значений - множество всех положительных чисел;в) функция возрастает;г) при х = 0 значение функции равно 1;д) если х > 0, то ax > 1;е) если х < 0, то 0< ax
<1;2. Функция y = ax при 0< а <1а) область определения - множество всех действительных чисел;б) множество значений - множество всех положительных чисел;в) функция убывает;г) при х = 0 значение функции равно 1;д) если х > 0, то 0< ax <1;е) если х < 0, то ax > 1. №5.Опр. Функцию, заданную формулой y = loga x называют логарифмической функцией с основанием а.Свойства функции y = loga x при a>1:а) D(f) = R+;б) E(f) = R;в) функция возрастает;г) если x = 1, то loga x = 0;д)
|
| |
| |
| skumonk | Дата: Четверг, 16.11.2017, 15:06 | Сообщение # 3 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 1933
Репутация: 0
Статус: Offline
| если 0<x<1, то loga x < 0;е) если x > 1, то loga x > 0.Свойства функции y = loga x при 0<a<1:а) D(f) = R+;б) E(f) = R;в) функция убывает;г) если x = 1, то loga x = 0;д) если 0 < x < 1, то loga x > 0;е) если x > 1, то loga x < 0. №6. Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, противолежащего острому углу, к гипотенузе называется синусом этого угла (обозначается sin ). область определения - множество всех действительных чисел; множество значений - [-1; 1]; функция
нечетная: sin(-x) = -sin(x) для всех ; функция периодическая с наименьшим положительным периодом ; sin(x) = 0 при x = ; sin(x) > 0 для всех ; sin(x) < 0 для всех ; функция возрастает на ; функция убывает на . № 7.Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, прилежащего к острому углу, к гипотенузе называется косинусом этого угла (обозначается cos ) область определения - множество всех действительных чисел; множество значений - [-1; 1]; функция четная:
cos(-x) = cos(x) для всех ; функция периодическая с наименьшим положительным периодом ; cos(x) = 0 при ; cos(x) > 0 для всех ; cos(x) > 0 для всех ; функция возрастает на ; функция убывает на №8.Опр. Отношение катета, противолежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, прилежащему к этому углу, называется тангенсом (обозначается tg ). область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида; множество значений - вся
числовая прямая; функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения; функция периодическая с наименьшим положительным периодом ; tg(x) = 0 при х = ; tg(x) > 0 для всех ; tg(x) < 0 для всех ; функция возрастает на . №9.Опр. Отношение катета, прилежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, противолежащему к этому углу, называется котангенсом (обозначается ctg ) область определения - множество всех действительных чисел,
кроме чисел вида ; множество значений - вся числовая прямая; функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения; функция периодическая с наименьшим положительным периодом ; ctg(x) = 0 при x = ; ctg(x) > 0 для всех ; ctg(x) < 0 для всех ; функция убывает на . Ответ № 10 Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической
прогрессией. Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т. е. а2 - а1 = а3 - а2 = ... = ak - ak-1 = ... . Это число называется разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d. Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (аn), достаточно знать ее первый член а1 и разность d. Если разность арифметической прогрессии - положительное
|
| |
| |
| skumonk | Дата: Четверг, 16.11.2017, 15:07 | Сообщение # 4 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 1933
Репутация: 0
Статус: Offline
| число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью. Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним
арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е. (1) Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: an = a1 + d(n-1). (2) Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид: (3) Если в формулу (3) подставить вместо аn его выражение по формуле (2), то получим соотношение Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a1 + an = a2 + an-1 = ..., т. е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть
величина постоянная. Ответ № 11 Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 = b3:b2 = ... = bn:bn-1 = bn+1:bn = ... . Это число называется
знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q. Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q. Если q > 0 (), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b1= -2, q = 3, тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, ... есть монотонно убывающая последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае
прогрессия является постоянной последовательностью. Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е. (1) Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: (2) Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид: , (3) Если в
формулу (3) подставить вместо bn его выражение по формуле (2), то получится соот-ношение. , (4) Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1bn = b2bn-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при Пусть (xn) - геометрическая прогрессия со знаменателем q, где и . Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель
|
| |
| |
| skumonk | Дата: Четверг, 16.11.2017, 15:07 | Сообщение # 5 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 1933
Репутация: 0
Статус: Offline
| которой удовлетворяет условию , называется предел суммы n первых ее членов при . Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S. Тогда верна формула . № 12 Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a формула для корней уравнения sin(x) = a, где , имеет вид: Частные случаи: sin(x) = 0, x = sin(x) = 1, x = sin(x) = -1, x = формула для корней уравнения sin2(x) = a, где , имеет вид: x= Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) < a
Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими. При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их знакопостоянства. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a (sin(x) < а) используют единичную окружность или график функции y = sin(x).sin(x) = 0 если х = ;sin(x) = -1, если x = >;
sin(x) > 0, если ;sin(x) < 0, если . Ответ № 13 Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a Формула для корней уравнения cos(x) = a, где , имеет вид: . Частные случаи:cos(x) = 1, x = ;cos(x) = 0, ;cos(x) = -1, x = Формула для корней уравнения cos2(x) = a, где , имеет вид: . Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a используют единичную окружность или график функции y = cos(x);
Важным моментом является знание, что:cos(x) = 0, если ;cos(x) = -1, если x = ;cos(x) = 1, если x = ;cos(x) > 0, если ;cos(x) > 0, если . № 14 Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид: . Частные случаи:tg(x) = 0, x = ;tg(x) = 1, ;tg(x) = -1, . Формула для корней уравнения tg2(x) = a, где , имеет вид: Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a
используют единичную окружность или график функции y = tg(x). Важно знать, что:tg(x) > 0, если ;tg(x) < 0, если ;Тангенс не существует, если . № 15 Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов , , , , выражаются через значения sin , cos , tg и ctg . Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу: Функция Аргумент sin cos cos sin -sin -cos -cos -sin sin cos sin -sin -cos -cos -sin sin cos cos tg ctg -ctg -tg tg ctg -ctg -tg tg ctg
tg -tg -ctg ctg tg -tg -ctg ctg Для облегчения запоминания приведенных формул нужно использовать следующие правила:a) при переходе от функций углов , к функциям угла название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот;при переходе от функций углов , к функциям угла название функции сохраняют;б) считая острым углом (т. е. ), перед функцией угла ставят такой знак, какой имеет приводимая функ-ция углов , , . Все
|
| |
| |
| skumonk | Дата: Четверг, 16.11.2017, 15:08 | Сообщение # 6 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 1933
Репутация: 0
Статус: Offline
| вышеприведенные формулы можно получить, пользуясь следующим правилом:Любая тригонометрическая функция угла 90°n + по абсолютной величине равна той же функции угла , если число n - четное, и дополнительной функции, если число n - нечетное. При этом, если функция угла 90°n + . положительна, когда - острый угол, то знаки обеих функций одинаковы, если отрицательна, то различны. № 16 Формулы косинуса суммы и разности двух
аргументов: Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол и на угол (рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов и . Пусть координаты точки В равны х1 и y1, координаты точки С равны х2 и y2. Эти же координаты имеют соответственно и векторы и . По определению скалярного произведения
векторов:= х1х2 + y1y2. (1)Выразим скалярное произведение через тригонометрические функции углов и . Из определения косинуса и синуса следует, чтох1 = R cos , y1 = R sin , х2 = R cos , y2 = R sin .Подставив значения х1, х2, y1, y2 в правую часть равенства (1), получим:= R2cos cos + R2sin sin = R2(cos cos + sin sin).С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:= cos BOC = R2cos BOC.Угол ВОС между векторами и может быть равен - (рис.1), - ( - ) (рис.2) либо может отличаться от
этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos BOC = cos ( - ). Поэтому= R2 cos ( - ).Т.к. равно также R2(cos cos + sin sin), то cos( - ) = cos cos + sin sin.cos( + ) = cos( - (-)) = cos cos(-) + sin sin(-) = cos cos - sin sin. Значит, cos( + ) = cos cos - sin sin. Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:sin( + ) = cos( /2 - ( + )) = cos(( /2 - ) - ) = cos( /2 - ) cos + sin( /2 - ) sin = sin cos + cos sin.Значит, sin( + ) = sin cos + cos sin.sin( - ) = sin( + (-)) = sin cos(-) + cos sin(-) = sin cos - cos sin.Значит, sin( - ) = sin cos - cos sin. № 17 Формулы двойных углов Формулы
сложения позволяют выразить sin 2, cos 2, tg 2, ctg 2 через тригонометрические функции угла .Положим в формулахsin( + ) = sin cos + cos sin ,cos( + ) = cos cos - sin sin ,,.равным . Получим тождества: sin 2 = 2 sin cos ;cos 2 = cos2 - sin2 = 1 - sin2 = 2 cos2 - 1;; . № 18 Формулы половинного аргумента Выразив правую часть формулы cos 2 = cos2 - sin2 через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениямcos 2 = 1 - sin2 , cos 2 = 2 cos2 - 1.Если в данных соотношениях положить = /2, то получим:cos = 1
- 2 sin2 /2, cos 2 = 2 cos2 /2 - 1. (1) Из формул (1) следует, что (2), (3). Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим (4). В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол /2. Полезно знать следующую формулу: . № 19 Формулы суммы и разности синусов, косинусов Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических
|
| |
| |
| skumonk | Дата: Четверг, 16.11.2017, 15:09 | Сообщение # 7 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 1933
Репутация: 0
Статус: Offline
| функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения. Чтобы представить в виде произведения сумму sin + sin , положим = x + y и = x - y и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:sin + sin = sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy. Решив теперь систему уравнений = x + y, = x - y относительно x и y, получим х = , y = .Следовательно, sin + sin = 2 sin cos
.Аналогичным образом выводят формулы: sin -sin = 2 cos sin ; cos + cos = 2 cos cos ; cos + cos = -2 sin sin . № 20 Чтобы найти решение приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0, где , достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям равенства прибавить . Тогда левая часть станет полным квадратом, и мы получаем равносильное уравнение = - q .Оно отличается от простейшего уравнения x2 = m
только внешним видом: стоит вместо x и - q - вместо m. Находим = . Отсюба х = - . Эта формула показывает, что всякое квадратное уравнение имеет два корня. Но эти корни могут быть и мнимыми, если < q . Может также оказаться, что оба корня квадратного уравнения равны между собой, если = q . Возращаемся к обычному виду . 1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а
произведение корней равно свободному члену, т.е. х1 + х2 = -р, а х1х2 = q .2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, х1, х2 таковы, что х1 + х2 = -р и х1х2 = q , то х1 и х2 - корни уравнения x2 + px + q = 0. № 21 Опр. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b. Формулу (где b > 0, a > 0 и a 1) называют основным логарифмическим тождеством. Свойства логарифмов: ; ;
Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:.Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством:x = , y = .Перемножим почленно эти равенства, получаем:xy = = .Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан. Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя:.Ход доказательства аналогичен доказательству п.3 Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее
основания:.При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным логарифмическим тождеством. № 22 Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции в точке х0 к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так: . Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке х0 только в том случае, если она определена в некоторой окрестности
|
| |
| |
| skumonk | Дата: Четверг, 16.11.2017, 15:09 | Сообщение # 8 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 1933
Репутация: 0
Статус: Offline
| точки х0, включая эту точку. Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке. Существование производной функции f в точке х0 эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х0 ; f(х0)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен . В этом состоит геометрический смысл производной. Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) - это
скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с которой протекает процесс. № 23 Производная суммы равна сумме производных, если они существуют:. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 то их производные дифференцируемы в этой точке и. Если функция u и v
дифференцируемы в точке х0, а С - постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 и функция v не равна нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в точке х0 и.
|
| |
| |
|
